信号处理原理 笔记 A

复习笔记

四种卷积

连续线卷积

$$f(t) * g(t) = \int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)g(t - \tau)\mathrm{d}\tau = \int_{-\infty}^{\infty}f(t - \tau)g(\tau)\mathrm{d}\tau$$

连续圆卷积

$$f(t) \otimes g(t) = \int_{t}^{t + T}f(\tau)g(t - \tau)\mathrm{d}\tau = \int_{t}^{t + T}f(t - \tau)g(\tau)\mathrm{d}\tau$$

离散线卷积

$$f(n) * g(n) = \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}f(k)g(n - k) = \sum\limits_{k = -\infty}^{\infty}f(n - k)g(k)$$

离散圆卷积

$$f(n) \otimes g(n) = \sum\limits_{k=0}^{N - 1}f(k)g(n - k) = \sum\limits_{k = 0}^{N - 1}f(n - k)g(k)$$

性质

四种卷积都满足：

• 交换律、结合律、分配率
• 对卷积求导/积分等价于对某一个运算函数求导/积分后再卷积
• $(f * g)^{(n)} = f^{(m)}*g^{(n - m)}$，这是第二条的推广，上标$(n)$代表求$n$次微分，当$n < 0$的时候代表积分

四种FT对比

包括FT, FS, DTFT, DFT，其中$W_{N} = \exp(-j\dfrac{2\pi}{N})$

其中，FE, DTFT, DFT的性质总结如下：
着重关注其中的系数和系数的位置！

FT与FS关系

对于一个非周期函数$f(t)$，其傅里叶变换的系数记为$F(\omega)$，将$f(t)$做周期延拓得到$\tilde{f}(t)$，且$\tilde{f}(t)$的傅里叶系数为$F_{n}$，则其满足：

$$F_{n} = \frac{1}{T_{1}}F(n\omega_{1})$$

DTFT模拟频率和数字频率的关系

在DTFT中，我们对真实采样得到的结果$f(nT)$进行了归一化，将采样周期$T$归一化为$1$，在这种情况下：

• 归一化前的频率为模拟频率，为$\,\Omega = \frac{2\pi}{T}$
• 归一化后的频率为数字频率，为$\,\omega = 2\pi$
• Nyquist区间从$[-\frac{\pi}{T}, \frac{\pi}{T}]$变为了$[-\pi, \pi]$
• 模拟频率与数字频率的关系为$\omega = T\Omega$

有限长DTFT

实际中我们只能得到长度为$L$的离散时间信号，而DTFT要求$x(n)$是在整数域上定义的，因此我们可以考虑对$x(n)$加一个长度为$L$的窗：$w(n) = \mathbf{1}_{0\leq n \leq L - 1}$，得到$x_{L}(n) = x(n)w(n)$，根据DTFT的特性，有：

$$X_{L}(\omega) = \frac{1}{2\pi}X(\omega) \otimes W(\omega)$$

而：

$$\begin{align*} W(\omega) &= \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}w(n)e^{-j\omega n} \\ &= \sum\limits_{n = 0}^{L - 1}e^{-j\omega n} = \frac{\sin(\frac{L\omega}{2})}{\sin(\frac{\omega}{2})}e^{-\frac{j(L - 1)\omega}{2}} \end{align*}$$

定义主瓣宽度为$\Delta\omega_{W} = \frac{2\pi}{L}$，绝对值在这个宽度之外的为旁瓣，其导致了频率泄露

DFT的注意事项

最重要的是，IDFT得到的不是唯一结果，而是原来序列的回绕，这是因为序列回绕之后的DFT与原序列的DFT相同，证明参考：

FFT

如果希望计算$x(n)$的DFT，序列长度为$N = 2R$，则我们考虑将序列拆分为两组$g(r) = x(2r)$与$h(r) = x(2r + 1)$，设其对应的DFT序列分别为$X(k), G(k), H(k)$，长度分别为$N, R, R$，则计算$X(k)$的快速方法为：

$$\begin{align*} X(k) = \begin{cases} G(k) + W_{N}^{k}H(k) & k = 0, 1, \dots, \frac{N}{2} - 1 \\ G(k - \frac{N}{2}) - W_{N}^{k - \frac{N}{2}}H(k - \frac{N}{2}) & k = \frac{N}{2}, \frac{N}{2} + 1, \dots, N - 1 \end{cases} \end{align*}$$

对应时间复杂度为$O(N\log N)$

从DFT到FT/FS

从DFT计算FT

假设$f(t)$经过$T_{s}$采样后，得到的DTFT为$X(\omega)$，再经过频域采样后得到的DFT为$X(k)$，则：

$$X(k) = X(\omega_{k}) = X(\frac{2\pi}{N}k)$$

而我们有，时域采样实际上是频域上压扩后的周期扩展，因此：

$$X(\omega) = (F(\omega)/T_{s})_{\omega_{s}}$$

在满足Nyquist条件的情况下，$\omega_{k}$都位于一个Nyquist区间内，并且周期重复不会产生混叠现象，因此：

$$X(k) = X(\omega_{k}) = F(\omega_{k})/T_{s}$$

化简后得到：

$$F(\omega_{k}) = T_{s}X(k)$$

也即我们可以对DFT的图像进行扩压并连线后得到$F(\omega)$的近似图像

从IDFT计算IFT

对$F(\omega)$按照$\omega_{s}$进行周期重复，得到DTFT序列，再次N点采样得到$F(k)$，现在希望根据$F(k)$计算出$f(t)$

$$\begin{align*} \mathrm{IDFT}[F(k)] &= \mathrm{IDTFT}[(F(\omega_{k}))_{\omega_{s}}] \\ &= T_{s}\cdot \mathrm{IDTFT}[(F(\omega_{k} / T_{s}))_{\omega_{s}}] \\ &= T_{s}f(n) \end{align*}$$

即：

$$f(n) = \frac{1}{T_{s}}\mathrm{IDFT}[F(k)]$$

因此我们可以根据IDFT的图像压扩后连线得到$f(t)$的近似图像

从DFT计算FS

对于一个周期信号$f(t)$，我们希望得到其采样后的N点DFT与其FS的关系，假设这个采样满足Nyquist定理，并且一个周期内恰好有$N$个采样点，即$T_{s} = \frac{T}{N}$

由于周期信号进行周期重复之后，频谱幅度会发生变化，因此不能使用第一种情况中的思路来做，相应的，我们需要使用：

$$F_{n} = \frac{1}{T}F(n\omega)$$

其中$F(\omega)$为对$f(t)$截取一个周期后得到的非周期信号计算FT后的结果，此时满足第一种情况，即：

$$F(k\omega) = T_{s}X(k)$$

因此：

$$F_{n} = \frac{T_{s}}{T}X(k) = \frac{1}{N}X(k)$$

采样

时域采样

对时域上的串$x(t)$，用$p(t) = \sum\limits_{n = -\infty}^{\infty} \delta(t - nT_{s})$对其进行采样，得到的结果相当于在频域上以$\omega_{s}$为周期进行延拓，之后幅度乘以系数，即：

$$\begin{align*} x_{p}&(t) = x(t)p(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}x(nT_{s})\delta(t - nT_{s}) \\ X_{p}(\omega) &= \frac{1}{2\pi}X(\omega)*P(\omega) = \frac{1}{T_{s}}\sum\limits_{n = -\infty}^{\infty}X(\omega - n\omega_{s}) \end{align*}$$

Nyquist采样定理为，满足以下两个条件的采样信号序列可以恢复原信号：

1. $x(t)$在频域是带限的，即频域上分布在$|\omega| \leq \omega_M$内
2. 采样频率满足$\omega_{s} > 2\omega_{M}$

采样后在频域恢复只需要用窗函数$H(\omega)$来截取，得到$X(\omega)$，因此对应到时域，就相当于是用窗函数的IFT，即理想滤波器的单位冲激响应$h(t)$，对采样结果进行卷积

$$\begin{align*} H(\omega) &= \mathbf{e^{-j\boldsymbol{\omega} t_{0}}}_{|\omega| < \omega_{s}} \\ X(\omega) &= H(\omega)X_{p}(\omega) \\ x(t) &= \mathscr{F}^{-1}\bigl[X(\omega)\bigr] \\ &= h(t) * x_{p}(t) \end{align*}$$

频域采样

在频域上以$\omega_{0}$采样相当于在时域以$\frac{2\pi}{\omega_{0}}$以周期进行周期延拓

$$\begin{align*} P(\omega) &= \sum\limits_{n = -\infty}^{\infty}\delta(\omega - n\omega_{0}) \\ X_{p}(\omega) &= \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}X(n\omega_{0})\delta(\omega - n\omega_{0}) \\ x_{p}(t) &= \frac{1}{\omega_{0}}\sum\limits_{n = -\infty}^{\infty}x(t - \frac{2\pi}{\omega_{0}}n) \end{align*}$$

同样，时域恢复的时候也是利用举行信号进行截取，频域需要内插，内插函数为$W(\omega) = 2\pi\,\mathrm{Sa}(\omega/\omega_{0})$

Z变换

在Fourier变换中，变换核为$e^{j\omega}$，我们考虑将其泛化为任意复数$z\in \mathbb{C}$，此即Z变换，但是Z变换不一定是恒收敛的，需要考虑其收敛域ROC

• 对于右边序列，ROC为模最大的极点所在圆以外的部分
• 对于左边序列，ROC为模最小的极点所在圆以内的部分
• 对于双边序列，我们将其拆分为左右边序列的和，ROC为圆环
• $0$与$+\infty$需要单独讨论

重要的性质

由于ZT是FT的扩展，所以FT的性质，例如线性、时移、压扩等，ZT都能保持

$$\begin{align*} \mathscr{Z}[a^{n}u(n)] &= \frac{1}{1 - az^{-1}} \\ \mathscr{Z}[-a^{n}u(-n-1)] &= \begin{cases} \frac{1}{1 - az^{-1}} & 0 < |a| < |z| \\ 0 & z = 0 \end{cases} \end{align*}$$