信号处理原理 笔记 7

滤波器

从数学上来说，滤波器其实就是频域上的窗函数，分类为：

• 高通滤波器(HP)
• 低通滤波器(LP)
• 带通滤波器(BP)
• 带阻滤波器(BS)
• 全通滤波器(AP)

不同种类滤波器图像

由于滤波器要求是偶函数，因此我们只需要研究 $\omega \in [0, \pi]$ 的情况即可

滤波特性参数

假设滤波器为$W(\omega)$，由于不同种类的滤波器的数学表达式不相同，因此下面讨论低通滤波器的参数特性

• 通带容限：$d_{p} = \max\limits_{\omega\in [0, \pi]} (W(\omega) - 1)$
• 阻带容限：$d_{s}$定义为所有旁瓣的最大值
• 通带：$\{\omega \,|\, \mathrm{abs}\big(W(\omega) - 1\big) \leq d_{p} \}$，其边缘频率定义为$\omega_{p}$
• 阻带：$\{\omega \,|\, W(\omega) \leq d_{s} \}$，其边缘频率定义为$\omega_{s}$
• 过渡带：通带和阻带之外的部分
• 实际滤波器截止频率：$W^{-1}\big(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\big)$
• 理想滤波器截止频率：$\omega_{c} = W^{-1}\big(\dfrac{1}{2}\big)$

低通滤波器特性参数

注意，图中是低通滤波器，其他类型的滤波器图像并不一定这样，例如显然高通滤波器中，$\omega_{p} > \omega_{s}$

滤波器的数学表示

差分方程

一个阶段的输出是本阶段输入、上阶段输入、上阶段输出的线性组合

$$y(n) = \frac{1}{b_{0}}\bigl[a_{0}x(n) + a_{1}x(n-1) - b_{1}y(n-1) \bigr]$$

一般形式，扩展为其之前所有状态输入输出的线性组合：

$$\sum\limits_{k=0}^{N}b_{k}y(n-k) = \sum\limits_{r=0}^{M}a_{r}x(n-r)$$

其中$N$称之为滤波器的阶数

流图

课程中，规范的流图绘制为：

流图规范

流图只有这几个单元，每个单元内部是可替换的，绘制时注意：

• 箭头
• 箭头上的文字
• 每个块的形状

流图绘制示例

对单位冲激响应的解释

在采样一章中，我们提出了一个概念：

以理想低通滤波器（频域矩形脉冲）的单位冲激响应作为内插函数

现在，我们解释一下其中单位冲激响应的含义

在一个系统中，我们将输入称之为激励，将输出称之为响应，因此滤波器的冲激响应是指激励为脉冲信号时的响应，而单位冲激信号为：

$$\begin{align*} \delta(n) = \begin{cases} 1 & n = 0 \\ 0 & n \neq 0 \end{cases} \end{align*}$$

当我们需要求滤波器单位冲激响应的时候，我们将差分方程的输入$x(n)$替换为$\delta(n)$即可

课程规定：此时同样需要把$y(n)$替换为$h(n)$

分类

根据每个阶段的输出是否和之前的输出有关，我们将滤波器分为有限脉冲响应（FIR）滤波器和无限脉冲响应（IIR）滤波器

FIR：

$$y(n) = \sum\limits_{k=0}^{M}a_{k}x(n-k)$$

IIR：

$$y(n) = \sum\limits_{k=0}^{M}a_{k}x(n-k) + \sum\limits_{k=1}^{N}b_{k}y(n-k)$$

流图的变换

对于一个IIR，其流图有两种形式，即先递归后递推或先递推后递归，而通常情况下为了更好的内存效率，我们使用先递归后递推的方式，因此我们需要将另一种进行变换，变换方式为：

流图的变换

可以证明，这种变换之后得到的响应是一致的，详细证明见Appendix A

在这样的变化后，中间的$Z^{-1}$块可以共用，因此减少了内存

滤波器与卷积

通常来说，滤波器的输入为一系列脉冲信号，即：

$$x(n) = \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}x(k)\delta(n - k)$$

而我们知道，当输入为单位冲激信号即$x(n) = \delta(n)$时，得到的响应应该为单位冲激响应$h(n)$，因此由线性可得：

$$y(n) = \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}x(k)h(n - k) = x(n) * h(n)$$

也即输出就是输入与单位冲激响应的卷积

我们有，这个LTI系统是稳定系统（稳定系统：输入有界 -> 输出有界）当且仅当：

$$\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}|h(n)| = P < \infty$$

证明详见Appendix B

• 如果系统串联，那么等价系统的响应函数做卷积
• 如果系统并联，那么等价系统的响应函数做加法

系统的频率响应

系统的频率响应即为$h(n)$的DTFT，得到的通常为一个复值函数，即：

$$H(\omega) = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}h(n)e^{-jn\omega} = |H(\omega)|e^{j\varphi(\omega)}$$

根据输出的卷积表达式，我们有：

$$\begin{align*} Y(\omega) &= \mathrm{DTFT}(y(n)) \\ &= \mathrm{DTFT}(x(n) * h(n)) \\ &= X(\omega)H(\omega) \end{align*}$$

而根据滤波器的差分方程表达形式：

$$\sum\limits_{k=0}^{N}b_{k}y(n-k) = \sum\limits_{r=0}^{M}a_{r}x(n-r)$$

我们对这个式子两边求DTFT，根据DTFT在时域上的平移特性，有：

$$Y(\omega)\sum\limits_{k=0}^{N}b_{k}e^{-jk\omega} = X(\omega)\sum\limits_{r=0}^{M}a_{r}e^{-jr\omega}$$

于是得到$H(\omega)$的表达式：

$$H(\omega) = \frac{Y(\omega)}{X(\omega)} = \frac{\sum\limits_{r=0}^{M}a_{r}e^{-jr\omega}}{\sum\limits_{k=0}^{N}b_{k}e^{-jk\omega}}$$

• 如果系统串联，那么等价系统的响应函数做乘法
• 如果系统并联，那么等价系统的响应函数做加法

Appendix

Appendix A

原有的表达式为：

$$y(n) = \sum\limits_{r=0}^{M}a_{r}x(n - r) + \sum\limits_{k=1}^{N}b_{k}y(n - k)$$

变换后的表达式为：

$$\begin{align*} z(n) &= x(n) + \sum\limits_{k=1}^{N}b_{k}z(n - k) \\ y(n) &= \sum\limits_{r=0}^{M}a_{r}z(n - r) \end{align*}$$

因此变换之后：

$$\begin{align*} y(n) &= \sum\limits_{r=0}^{M}a_{r}z(n - r) \\ &= \sum\limits_{r=0}^{M}a_{r}x(n - r) + \sum\limits_{r=0}^{M}\sum\limits_{k=1}^{N}a_{r}b_{k}z(n-r-k) \\ &= \sum\limits_{r=0}^{M}a_{r}x(n - r) + \sum\limits_{k=1}^{N}b_{k}\sum\limits_{r=0}^{M}a_{r}z((n-k)-r) \\ &= \sum\limits_{r=0}^{M}a_{r}x(n - r) + \sum\limits_{k=1}^{N}b_{k}y(n - k) \end{align*}$$

也即是等价的