信号处理原理 笔记 3

信号的分解

信号的分解方法

直流与交流分解

$$\begin{align*} f_{DC}(t) &= \lim\limits_{T\to\infty}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)dt \\ f_{AC}(t) &= f(t) - f_{DC}(t) \end{align*}$$

奇偶分解

$$\begin{align*} f_{e}(t) &= \frac{f(t) + f(-t)}{2} \\ f_{o}(t) &= \frac{f(t) - f(-t)}{2} \end{align*}$$

复分解

$$\begin{align*} \mathrm{Re}(f(t)) &= \frac{f(t) + \overline{f(t)}}{2} \\ \mathrm{Im}(f(t)) &= \frac{f(t) - \overline{f(t)}}{2j} \end{align*}$$

脉冲分解

TODO

信号的正交分解

当$f(t)$在$[t_{1}, t_{2}]$区间内具有连续一阶导数和逐段连续的二阶导数时，$f(t)$可以用完备的正交函数集$\{\varphi_{i}(t)\}$来表示，即：

$$f(t) = \sum\limits_{i=1}^{\infty}c_{i}\varphi_{i}(t)$$

定义$k_{i} = \langle\varphi_{i}(t), \varphi_{i}(t)\rangle$

则常数$c_{i}$的定义为：

$$c_{i} = \frac{1}{k_{i}}\langle f(t), \varphi_{i}(t)\rangle$$

我们有帕斯瓦尔定理：

$$\int_{t_{1}}^{t_{2}}||f(t)||^{2}dt = \sum\limits_{i=1}^{\infty}||c_{i}||^{2}k_{i}$$

周期信号的正交分解

满足Dirchlet条件的周期函数都可以在一组完备正交基函数上展开为无穷级数

Dirchlet条件为：

• 间断点个数有限
• 极值点个数有限
• 绝对积分数值有限

当完备正交基函数为三角函数集或指数函数集的时候，展成的级数称为Fourier级数

Fourier级数

三角Fourier

设$f(t)$周期为$T_{1}$，令$\omega_{1} = 2\pi/T_{1}$，则Fourier级数为：

$$f(t) = a_{0} + \sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_{n}\cos n\omega_{1}t + b_{n}\sin n\omega_{1}t)$$

积分变换为：

$$\begin{align*} a_{0} &= \frac{1}{T_{1}}\int_{t_{0}}^{t_{0} + T_{1}}f(t)dt \\ a_{n} &= \frac{2}{T_{1}}\int_{t_{0}}^{t_{0} + T_{1}}f(t)\cos(n\omega_{1}t)dt \\ b_{n} &= \frac{2}{T_{1}}\int_{t_{0}}^{t_{0} + T_{1}}f(t)\sin(n\omega_{1}t)dt \end{align*}$$

复指数Fourier

对三角Fouier利用欧拉函数进行转换，可以得到复指数形式的Fourier级数：

$$f(t) = a_{0} + \sum\limits_{n=1}^{\infty}\bigl[ \frac{a_{n}-jb_{n}}{2}e^{jn\omega_{1}t} + \frac{a_{n}+jb_{n}}{2}e^{-jn\omega_{1}t} \bigr]$$

定义：

$$F_{n} = \begin{cases} a_{0} & n = 0\\ F(n\omega_{1}) = \dfrac{a_{n} - jb_{n}}{2} & n \in \mathbb{Z}/\{0\} \end{cases}$$

则有：

$$f(t) = \sum\limits_{n = -\infty}^{\infty}F_{n}e^{jn\omega_{1}t}$$

其中：

$$F_{n} = \frac{1}{T_{1}}\int_{T_{1}}f(t)e^{-jn\omega_{1}t}dt$$

Fouier频谱

考虑Fouier复系数$\{F_{n}\}$，则为了表示这个复系数序列可以得到两张频谱：

• 幅度谱 $|F_{n}|$
• 相位谱 $\mathrm{Arg}(F_{n})$

周期信号的Fouier频谱特点为：

1. 仅在离散点$n = k\omega_{1}$处有值，为谐波
2. $F_{n}$是双边谱，也即正负频率的频率幅度相加才是实际幅度
3. 信号的功率为$\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}|F_{n}|^{2}$

周期矩形脉冲信号

脉宽为$\tau$，幅度为$E$，周期为$T_{1}$

周期矩形脉冲信号的FS

包络线为$\dfrac{E\tau}{T_{1}}Sa(\dfrac{\omega\tau}{2})$

可以看出，周期信号的能量主要集中在第一个零点以内，即$|\omega| \leq \dfrac{2\pi}{\tau}$内，因此这段频率范围被称为矩形信号的频带宽度，在允许失真的情况下可以只用这一段进行通信

信号的正交分解

信号的级数展开

用一组函数$\varphi_{i}(t)$将信号$x(t)\in L^{2}(R)$展开成级数：

$$x(t) = \sum\limits_{i=-\infty}^{\infty}c_{i}\varphi_{i}(t)$$

求出$c_{i}$的过程称为信号变换

正交变换

若基函数$\varphi_{i}(t)$为标准完备正交基，则积分变换为：

$$c_{i} = \int_{t_{1}}^{t_{2}}x(t)\overline{\varphi_{i}(t)}dt$$

称为$x(t)$的正交变换，亦称为Karhunen-Loeve变换

非周期信号的Fouier变换

非周期信号可以看成$T\to\infty$的周期信号，于是其频谱会变化为连续频谱，也即$\omega_{1}\to 0\quad F_{n}\to 0$

我们将非周期信号的FT定义为：

$$F(\omega) = \int_{\mathbb{R}}f(t)e^{-j\omega t}dt$$

逆Fourier变换定义为IFT:

$$f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}}F(\omega)e^{j\omega t}d\omega$$

上式可写成，$F(\omega) = |F(\omega)|e^{j\varphi(\omega)}$，其中$|F(\omega)|$为幅度频谱密度函数，$\varphi(\omega)$为相位频谱密度函数

FT性质

唯一性：FT与IFT可以分别确定唯一的函数

可逆性：

$$\mathscr{F}[f(t)] = F(\omega) \Leftrightarrow \mathscr{F}^{-1}[F(\omega)] = f(t)$$

FT与FS的关系

将非周期信号$f(t)$做周期延拓，即时移并叠加，可得到一个周期信号$\tilde{f}(t)$，令其周期为$T_{1}$，则我们有：

$$\begin{align*} F_{n} &= \frac{1}{T_{1}}\int_{-T_{1}/2}^{T_{1}/2}\tilde{f}(t)e^{-jn\omega_{1}t}dt \\ &= \frac{1}{T_{1}}\int_{\mathbb{R}}f(t)e^{-jn\omega_{1}t}dt \\ F(\omega) &= \int_{\mathbb{R}}f(t)e^{-j\omega t}dt \end{align*}$$

于是可以得到：

这代表着我们可以从波形图上较为简单的在周期信号的FS与非周期信号的FT之间进行计算

• 周期信号至非周期信号：连接包络线，之后整体扩展$T_{1}$倍
• 非周期信号至周期信号：离散化，只取$n\omega_{1}$处的点，并缩小$\frac{1}{T_{1}}$

典型信号的FT

矩形脉冲信号

信号为：

$$f(t) = EG_{\tau}(t)$$

其FT为：

$$F(\omega) = E\tau\cdot Sa(\frac{\tau}{2}\omega)$$

冲激信号

$$\mathscr{F}[E\delta(t)] = \int_{\mathbb{R}}E\delta(t)e^{-j\omega t}dt = E$$

也即频谱为常数，被称为白色谱

三角信号

$$\begin{align*} \mathscr{F}[\cos \omega_{0}t] &= \mathscr{F}[\frac{e^{j\omega_{0}t} + e^{-j\omega_{0}t}}{2}] \\ &= \pi\delta(\omega - \omega_{0}) + \pi\delta(\omega + \omega_{0}) \end{align*}$$

一些性质

常数的频谱

$$\begin{align*} \mathscr{F}[e^{j\omega_{0}t}] &= 2\pi\delta(\omega - \omega_{0}) \\ \mathscr{F}[\frac{1}{2\pi}] &= \delta(\omega) \end{align*}$$

证明的关键点为：

$$\mathscr{F}^{-1}(\delta(\omega)) = \frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}}\delta(\omega)e^{j\omega t}d\omega = \frac{1}{2\pi}$$

线性

$\mathscr{F}$是线性运算

反褶与共轭

$$\begin{align*} \mathscr{F}(f(-t)) &= F(-\omega) \\ \mathscr{F}(f^{*}(t)) &= F^{*}(-\omega) \\ \mathscr{F}(f^{*}(-t)) &= F^{*}(\omega) \end{align*}$$

对偶性

$$\mathscr{F}^{-1}[F(\omega)] = \frac{1}{2\pi}\mathscr{F}_{\omega}^{*}[F^{*}(\omega)]$$

而FT和IFT的对偶性可以表示为：

$$F(t) \Leftrightarrow 2\pi f(-\omega)$$

尺度变换特性

$$\mathscr{F}[f(at)] = \frac{1}{|a|}F(\frac{\omega}{a})$$

等效性

对任意信号$f(t)\Leftrightarrow F(\omega)$，设$f(0)$与$F(0)$分别为最大值，则可定义：

• 等效脉宽$\tau = F(0) / f(0)$
• 等效带宽$B_{f} = f(0) / F(0)$

波形运算特性

$$\begin{align*} \mathscr{F}[f(t-t_{0})] &= F(\omega)e^{-j\omega t_{0}} \\ \mathscr{F}[f(at-t_{0})] &= \frac{1}{|a|}F(\frac{\omega}{a})e^{-j\omega \frac{t_{0}}{a}} \\ \mathscr{F}[f(t)e^{j\omega_{0}t}] &= F(\omega - \omega_{0}) \\ \mathscr{F}[\frac{1}{|a|}f(\frac{t}{a})e^{j\frac{\omega_{0}}{a}t}] &= F(a\omega - \omega_{0}) \end{align*}$$

微积分特性

$$\begin{align*} \frac{df(t)}{dt} &\Leftrightarrow j\omega F(\omega) \\ \frac{dF(\omega)}{s\omega} &\Leftrightarrow -jtf(t) \\ \int_{-\infty}^{t}f(\tau)d\tau &\Leftrightarrow (j\omega)^{-1}F(\omega) + \pi F(0)\delta(\omega) \\ \int_{-\infty}^{\omega}F(\lambda)d\lambda &\Leftrightarrow \pi f(0)\delta(t) - (jt)^{-1}f(t) \end{align*}$$

卷积特性

$$\begin{align*} \mathscr{F}[f_{1}(t)*f_{2}(t)] &= \mathscr{F}[f_{1}(t)] \cdot \mathscr{F}[f_{2}(t)] \\ \mathscr{F}[f_{1}(t)\cdot f_{2}(t)] &= \frac{1}{2\pi} \mathscr{F}[f_{1}(t)] * \mathscr{F}[f_{2}(t)] \\ \end{align*}$$