信号处理原理 笔记 1

信号的基本概念

信号的描述

• 数学描述：
  使用具体的表达式描述为函数

  $$Sa(t) = \frac{\sin(t)}{t}$$

• 波形描述：
  函数图像，横纵坐标要求标出，原点要求标出，零点要求标出

分类：

• 确定信号与随机信号
• 周期信号$(f(t) = f(t + T) \forall t \in \mathbb{R})$与非周期信号

奇异信号举例：

• 正余弦信号：

  $$\begin{align*} f(t) &= K\sin(\omega t + \theta) \\ f(t) &= K\cos(\omega t + \theta) \\ \end{align*}$$

• Sa函数：

  $$Sa(t) = \frac{\sin(t)}{t}$$

  有结论：

  $$\int_{-\infty}^{\infty}Sa(t) = \pi$$

• 指数信号：

  $$f(t) = Ke^{\alpha t}$$

欧拉公式

$$\begin{align*} e^{ix} &= \cos(x) + i\sin(x) \\ \sin(x) &= \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} \\ \cos(x) &= \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \end{align*}$$

用于描述复指数信号：

$$\begin{align*} f(t) &= Ke^{st} \\ &= Ke^{(\sigma + j\omega)t} \\ &= Ke^{\sigma t}(\cos(\omega t) + j\sin(\omega t)) \end{align*}$$

函数分解

若非零函数$\varphi_{1}(t)$与$\varphi_{2}(t)$满足：

$$\int_{t_{1}}^{t_{2}}\varphi_{1}(t)\varphi_{2}^{*}(t)dt = 0$$

则称其在$[t_{1}, t_{2}]$上正交

若非零函数序列$\varphi_{1}(t), \varphi_{2}(t), \cdots, \varphi_{n}(t)$满足：

$$\int_{t_{1}}^{t_{2}}\varphi_{i}(t)\varphi_{j}^{*}(t)dt = \begin{cases} 0 & i \neq j \\ k_{i} \neq 0 &i = j \end{cases}$$

则称这组函数为正交函数集

举例：

• $\{\cos(k\omega_{1}t + \varphi_{k})\ | \,k = 0, 1, \dots, n, \varphi_{0} = 0\}$，区间$[0, \frac{2\pi}{\omega_{1}}]$
• $\{e^{jn\omega_{0}t}\,|\,n = 0, \plusmn 1, \plusmn 2, \dots, \omega \in \mathbf{R}\}$，区间$[-\frac{\pi}{\omega_{0}}, \frac{\pi}{\omega_{0}}]$

若在$[t_{1}, t_{2}]$上，除正交函数集$\{\varphi_{i}(t)\}$外，不存在函数x(t)满足：

$$\begin{align*} 0 < &\int_{t_{1}}^{t_{2}}x(t)x^{*}(t)dt < \infty \\ &\int_{t_{1}}^{t_{2}}x(t)\varphi_{i}^{*}(t)dt = 0 \quad \forall i \end{align*}$$

则称$\{\varphi_{i}(t)\}$是完备的